***Démonstrations

Exercice 1

On considère la série statistique \(x_1,x_2,\dots,x_n\), où \(n\in \mathbb{N}^\ast\).
On note \(m\) la moyenne et \(s\) l'écart-type de cette série.
Démontrer que \(\displaystyle s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k^2-m^2\).

Exercice 2

On considère la série statistique \(x_1,x_2,\dots,x_n\), où \(n\in \mathbb{N}^\ast\).
On note \(m\) la moyenne et \(s\) l'écart-type de cette série.
Soit \(a\in \mathbb{R}\) et \(b\in \mathbb{R}\). On considère la nouvelle série statistique \(ax_1+b,ax_2+b,\dots,ax_n+b\).

1. Exprimer la moyenne \(m'\) de cette nouvelle série en fonction de \(m\).
2. Soit \(k\) un entier compris entre 1 et \(n\). Exprimer \(\left((ax_k+b)-m'\right)^2\) en fonction de \(a, x_k\) et \(m\).
3. Démontrer que l'écart-type \(s '\)de la nouvelle série est : \(s '= \vert a\vert s\).